소수란 무엇일까? “1 이외에 다른 수로 나뉘지 않는 수”를 소수라고 한다. 그 소수에 대한 규칙을 찾으려고 하는 사람들이 많다. 그런데 나는 앞에 말한 “1 이외에 다른 수로 나뉘지 않는 수”가 바로 소수의 규칙인데 또 무슨 다른 규칙을 찾으려고 하는 건지 모르겠다. 난 이게 참 변태스럽다고 생각한다. (그런데 그게 내 취향이다. ㅋㅋ)
어쨌든 나는 소수의 완벽한 규칙을 찾기보다는 큰 수를 소수가 맞는지 판별하는 방법이나 지금껏 알려진 소수보다 더 큰 소수를 찾는 것이 핵심인 것 같다. 그러니까 완벽한 규칙을 찾아낸다기보다는 소수를 찾아내는 더 최적화되고 빠르고 편한 방법을 찾는 방향이 맞는 것 같다.
나는 소수에 어느정도 규칙이 있다고 생각한다. 처음 2, 3, 5, 7… 이런식으로 소수가 등장하고 그 소수의 배수 4, 6, 10, 14등등의 합성수들이 나온다. 소수는 처음 등장 이후에 합성수를 통해서 계속 무한으로 증식한다는 것이다. 결국 그것이 합성수의 일종의 규칙인 것이고, 그 반대로 합성수에서 벗어나는 숫자가 소수로써 계속 새로 등장하게 되는 것이다. 결국 합성수가 증식하는 만큼 소수의 비율은 점점 더 줄어들게 된다. 다시 말해서 합성수가 백이고 소수가 그 반대편의 흑일 뿐이다. (한가지 더 생각할 부분은 합성수는 소수끼리 곱해진 수로 소수끼리 계속 중첩될 수 있다는 것. 그 중첩되는 순서나 비율이나 규칙도 따지고 보면 소수의 발생 패턴과 비슷하게 규칙을 알기 어렵고 기묘하지 않을까?)
일단 내가 만든 primenumber.html라는 페이지를 소개하고 싶다.(모바일에서는 창 크기를 조절할 수 없기 때문에 큰 의미가 없을 것이다.) 보면 알겠지만 숫자를 박스로 표시했고 소수를 더 어둡게 표시해놓은 페이지다. 이 페이지를 따로 창으로 분리해서 창의 가로 넓이를 줄였다 키웠다 하면 소수의 패턴이 혹시 보일지도 모르겠다.
위는 10진법에서 소수를 표시한 이미지이다. 첫줄을 제외하면 1, 3, 7, 9의 네줄에서 소수가 나오는 것을 볼 수 있다.
위는 2진수와 6진수로 표시한 모습이다. 2진수는 첫 줄을 제외하면 1의 자리에만 소수가 나오고, 6진수에서는 첫 줄을 제외하면 1과 5의 자리에서만 소수가 나오는 것을 볼 수 있다.
여기서 신기한 점이 하나 있다. 10진수에서는 소수의 세로줄이 “1, 3, 7, 9” 4줄이었는데 6진수에서는 “1, 5” 2줄이 됐다.
이번에는 30진수를 보자. 소수의 세로줄이 8줄이다.
이번에는 210진수이다. 소수의 세로줄이 48줄이다.
눈치챘는가? 신기한 점은 바로 소수의 세로줄의 비율이 계속 줄어들고 있다는 것이다! 다시 말해서 10진수에서는 10개 중에 4개로 40%였고, 2진수는 1줄로 50%, 6진수는 2줄로 33%, 30진수는 8줄로 26%, 210진수는 48줄로 22%…
계속 소수가 나오는 세로줄의 비율이 최적화되고 있다는 것이다! 나는 우연히 이런 현상을 발견했다. 진수가 늘어나는 규칙은 단순하다. 그냥 가장 작은 소수부터 계속 순서대로 곱해나가면 된다.
이것은 에라토스테네스의 체와 비슷하다. 에라토스테네스의 체란 1부터 100까지의 숫자에서 처음부터 합성수를 하나하나 제거해서 소수를 찾아내는 방법이다. 그러니까 처음에 2라는 소수를 확인했으니 그 이후에 2의 소수, 즉 짝수를 모두 제거한다. 그 다음에는 3이라는 소수를 확인했으니 3의 배수인 6, 9, 15…등등을 제거한다. 그 이후에 5라는 소수를 발견했으니 5의 배수인 25, 35… 등등을 제거한다. 이런식으로 합성수를 다 지우다보면 소수만 남게 된다는 것이다.
그렇지만 난 내가 발견한 방식이 조금 더 소수를 찾아내기 빠르고 편하다고 생각한다. (에라토스테네스의 체는 1차원적이라면 내가 발견한 방식은 2차원적이라고 할까?) 일단 앞에서 말했듯이 소수의 세로줄의 비율 자체가 계속 줄어든다. 더 쉽고 빠르게, 많은 합성수를 걸러낼 수 있다는 것이다.
30진수를 다시 보자. 30진수는 소수인 2, 3, 5까지를 곱한 수이다. 그래서 2, 3, 5의 배수들은 모두 소수의 세로줄에 포함되지 않는다. 그래서 소수인지 확인해보고 싶은 숫자가 소수의 세로줄에 포함되지 않는다면 따로 계산을 해보지 않아도 소수가 아닌 것을 한 눈에 알 수 있다. 또한 만약 내가 확인해보려는 숫자가 소수가 나오는 세로줄에 포함이 된다고 해도 소수가 확실한지 확인하기 위해 소수로 나눠봐야 할 때 처음의 2, 3, 5로 나누는 계산은 할 필요가 없다. (7부터 나눠보면 된다.)
그러니까 내가 소수가 맞는지 확인하고 싶은 숫자가 클수록 소수의 진수를 키우면 된다는 것이다. 당장은 210진수까지만 해봤지만, 2310진수, 510510진수를 만들어놓으면 아주 큰 수도 기존보다는 더 쉽고 빠르고 편하게 소수가 아니라는 것을 파악하게 되거나 소수일 수도 있다고 추측할 수 있다는 것이다. (물론 소수의 세로줄에 포함된다고 100% 소수인 것은 아니기 때문에 결국 계산을 해봐야 한다.)
다시 쉽게 설명하자면 이런 것이다. 우리는 10진수를 사용하고 있다. 그래서 우리는 뒷자리만으로 소수가 절대 아닌 숫자를 알 수 있다. 아무리 큰 숫자도 맨 뒷자리 숫자가 “0, 2, 4, 5, 6, 8″이면 그 수는 절대 소수가 아니라는 것을 안다.
만약 우리가 평소에 30진수를 사용해왔다면 어떨까? “1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a(10), b(11), c(12), d(13), e(14), f(15), g(16), h(17), i(18), j(19), k(20), l(21), m(22), n(23), o(24), p(25), q(26), r(27), s(28), t(29), 10(30), 11(31)…” 이런식으로 우리가 숫자를 사용했다면? 우리는 아무리 큰 수라고 해도 뒷자리가 “0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, a, c, e, f, g, i, k, l, m, o, p, q, r, s”는 모두 소수가 아니라는 것을 단번에 알 수 있었을 것이다!
30진수나 210진수를 보면 소수의 사막지역 분포나 숫자 하나를 걸러서 소수가 나오는 쌍둥이 소수도 왜 그런 것인지 대략 이해할 수 있는 것 같다. 사실 너무나도 당연한 말이지만, 2, 3, 5, 7, 11…과 같은 초반 소수의 제곱이 분포되는 지역에서는 소수가 잘 안 나온다.
참고로 앞에서 본 소수의 세로줄 모양들을 보면 알겠지만, 좌우대칭이다. 좌우대칭인 이유는 내가 정해놓은 진수의 끝에서 역으로 합성수의 분포가 생겨나기 때문이다.
예를 들자면 30진수에서는 2부터 6까지는 첫줄을 제외하면 소수가 나오지 않는다. 29에서 24까지도 마찬가지로 소수가 나오지 않는다. 30부터 작은 숫자 방향으로 거꾸로 봤을 때 28은 2의 배수, 27은 3의 배수, 26은 2의 배수, 25는 5의 배수, 24는 2의 배수로 해서 앞에 1에서 시작하는 것과 마찬가지로 뒤에서도 역으로 소수가 나오지 않게 되는 것이다.
결국 합성수의 분포가 앞에서 말했듯이 몰리는 부분이 생기게 되고 바로 그곳이 사막지역이 되는 것이고, 그렇지 않은 곳은 붙어 있는 소수가 나오는 쌍둥이 소수가 나오는 지역이 되는 것일 뿐이다.
그러니까 이런 느낌이다. 1부터 30까지의 소수가 나오는 패턴과 31부터 60까지의 소수가 나오는 패턴은 비슷하다. 61부터 90까지도 마찬가지다. 그래서 소수가 쌍둥이로 붙어서 나오는 부분이 비슷해지는 것이고 소수가 잘 나오지 않는 사막 지역도 비슷해지는 것이다. 다시 말해서 그런 패턴이 소수의 규칙성, 패턴으로 보이게 되는 것이다. 또한 30에 7을 곱한 210도 마찬가지다. 1부터 210까지의 소수가 나오는 패턴과 211부터 420까지의 소수가 나오는 패턴이 비슷하다. 이런식으로 기존의 것들을 특정한 소수의 개수만큼 이어붙이면 또 새로운 패턴의 표본이 만들어지게 되는 것이다.
참고로 나는 그런 면에서 플리히타의 소수원, 또는 소수 십자가는 그저 24진수에 불과하다고 생각한다. 6진수에서는 소수의 세로줄이 33%이고 30진수에서는 26%로 줄어들지만, 24진수는 6진수와 똑같은 33%일 뿐이다. 그냥 6진수를 4배로 펼쳐놨을 뿐이라는 것이다. 그리고 골드바흐의 추측에 대한 내 생각을 말해보자면 어떤 짝수든 소수와 소수의 합으로 구현 가능하다는 것은 결국 소수를 완벽하게 파악해야만 증명할 수 있으므로 소수를 완벽하게 파악하지 못하는 이상 증명할 수 없을 것 같다.
위 이미지는 지그재그 15진수라고 해야 할까? 소수의 세로줄이 좌우가 대칭한다는 것을 이용해서 포토샵으로 위처럼 만들어봤다.
이건 105진수 지그재그 버전이다.
사실 생각해보면 1을 합성수로 치면 소수는 없는 것이다. 굳이 1을 제외한 소수만을 합성수의 재료로 인정하는 것도 변태같은 것 같다. 그러니까 만약 나중에 소수의 비밀이 해결된다고 해도 그 이후에는 2의 배수도 제외해서 거기서 나오는 소수들에 대해서 정의하려고 들지 않을까? (1을 제외했듯이 2를 제외하면 4, 8, 16… 도 소수가 되는 것이다.)
결국 소수가 신기하다기보다는 일부러 정의할 수 없거나 정의하기 어려운 것을 정의하려고 드는 인간의 호기심에서 나온 재미있는 의문, 문제가 아닌가 싶다. 안 그래도 되는데 굳이 우주를 이해하고 탐험하려고 드는 것처럼 말이다. 궁금하고 어려운 것이 없으면 일부러 만들어서라도 문제를 해결하려고 든다랄까? 어쨌든 인간의 그런 특성 때문에 인류가 지금처럼 발전한 것이겠지…
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20220523/
핵심은 그것이 아닐까? 지금까지 발견한 소수에 2나 3과 같은 정수를 곱하거나 제곱하면 그것은 합성수이다. 그런식으로 계속 합성수를 찾아낼 수 있고 합성수에 포함되지 않는 것이 소수이다. 그 원리를 이용하면 소수를 계속 찾아낼 수 있지 않을까?
예를 들어 169가 소수인지 알아내기 위해서는 위에서 이미지로 보여줬던 것처럼 하면 작은 값부터 차근차근 그 숫자가 소수인지 알아낼 수 있다. 거기에 169의 제곱근인 13까지만 계산해보면 해당 숫자가 소수인지 아닌지를 파악하기 쉬울 것이다. (13이 소수라고 해도 제곱해서 딱 떨어진다면 그것은 소수가 아닌 것이겠지.)
똑같은 말이긴 한데 그런 방식으로 차근차근 하나씩 소수를 찾아내고, 그 순서대로 찾아낸 소수를 제곱하면 나오는 합성수를 소수에서 제외, 걸러내는 방식으로 계속 무한으로 반복하면 무한으로 자연수를 찾아낼 수 있게 되고, 거기서 걸러지지 않고 발견되는 숫자는 소수가 되는 것이다. (지금 생각해보니까 그냥 에라토스테네스의 체네… 글을 쓴게 아까워서 안 지우겠다.)
