몬티 홀 패러독스, 확률에 대한 나의 생각

몬티 홀 문제 – 위키백과, 우리 모두의 백과사전


간단히 이것을 설명하면 3개의 문중에 하나가 당첨이고 나머지 두개의 문은 꽝이다. 그중에 내가 하나의 문을 선택했는데 사회자가 남은 두개의 문 중에서 하나를 열어준다. 사회자는 이미 당첨이 어디에 있는지 알기 때문에 두개의 문 중에 무조건 꽝인 문을 열어준다고 했을 때. 나는 기존에 선택했던 문과 나머지 남은 하나의 문 중에서 어떤 것을 선택하는 것이 더 당첨의 확률이 높을까? 가 문제이고 선택을 바꾸는 것이 더 당첨 확률이 높다는 것이 답이다.

난 처음에는 이게 무슨 개소리인가 했다. 그런데 해석을 보니까 또 나름대로의 근거가 있더라.
내가 처음부터 당첨을 선택할 확률은 33%이다.(3분의 1이니까.) 그렇기 때문에 만약 내가 꽝을 선택했을 경우 사회자는 꽝과 당첨이라는 두개의 문 중에서 무조건 꽝인 문을 선택할 수밖에 없기 때문에 남은 하나의 문은 무조건 당첨인 것이다.

그러니까 애초에 3분의 1이라는 확률 안에서 나는 어떤 곳에 답이 있는지 모른다. 그래서 나는 33%에 나의 확률을 걸었고 남은 66%의 확률 중에서 사회자가 하나를 제거해줬기 때문에 선택을 바꾸면 66%의 확률을 선택하는 것이 된다.

간단하게 말해서 세개의 문 중에서 내가 한개의 문을 열어보느냐. 두개의 문을 열어보느냐의 차이인 것이다.
선택을 유지하는 것은 한개의 문을 여는 것이고 선택을 바꾸는 것은 두개의 문을 열어보는 것이다.
그렇다면 당연히 선택을 바꾸는 것이 확률상 이득이다.

다른식으로 말하면 내 앞에 두개의 문이 있다.
사회자는 하나의 문은 당첨일 확률이 33%라고 하고 또 하나의 문은 66%라고 말하는 것과 크게 다르지 않은 것이다.
그렇다면 결론적으로 선택을 바꾸는 것이 확률상 더 높으니 답이 되는 걸까? 그렇게 선택하는 것이 꼭 옳은 결정일까?

이 방식을 이용해서 계속 선택을 바꾸는 전략을 취한다면 여러판을 했을 때는 확실히 유용할 것도 같다. (판의 수가 많아질수록 더욱 힘을 발휘할 것이다.)
하지만 단판을 한다고 했을 때는 아무런 소용이 없다고 생각한다.

나의 결론은 선택을 바꾸는 것은 두개의 문을 열어보는 효과가 분명히 있다. 하지만 그것이 당첨을 선택한다는 보장은 결코 될 수 없다.
그래서 선택을 바꾸지 않는 것이 결코 틀린 선택이라고는 말할 수 없다는 것이 나의 결론이다.

나는 33% 확률의 문과 66% 확률의 문 중에서 하나를 선택하라고 했을 때. 33%를 선택할 수도 있다는 것이다.
어차피 어디에 당첨이 있는지는 아무도 모르는 것 아닌가?
남이 찍어준 두개의 문을 선택하는 것보다 내가 스스로 찍은 하나의 문이 당첨될 수도 있지 않겠는가 말이다.

추가 0730) 전략적으로 생각해보면 이런 것도 가능할 것 같다.
내가 생각하기에 3번에 있을 것 같다면 1번을 선택하는 것이다.
그래서 2번이 지워진다면 선택을 바꾸는 것이다.
만약 3번이 지워진다면? 그때는 알아서 꼴리는대로 선택하자~

사실은 위에 말한 것처럼 어차피 다 운이라서 의미없는 짓이긴 하다. 하지만 나의 예감과 높은 확률 사이의 합리적인 접점을 찾을 수는 있겠다는 것이다.

추가 0803) 결국 이렇게 정리하면 되겠다. 선택을 바꾸는 것이 정답은 아니다. 하지만 선택을 바꾸는 것이 확률상으로는 더 이득인 것도 분명하다.
그러니까 선택의 변경으로 확률상 더 높은 것은 선택을 할 수 있다는 말도 맞지만, 결국은 정답은 한개이고 내가 선택할 수 있는 것도 단 한개라는 것은 변하지 않음. 확률의 도움을 받았다 치더라도 그게 정답이라는 확신은 할 수 없고 확신해서도 안 된다는 것.

유튜브 댓글에서 좋은 내용이 있어서 가져와본다.
100개의 선택지 중에서 처음 고른 문을 유지할 것인가, 98개의 문을 사회자가 지워준 후 남은 한개의 문으로 선택지를 변경할 것인가.
당연히 바꾸는게 확률상 개이득이다. 1프로와 99프로의 확률게임이기 때문이다. (하지만 이것은 극단적인 예를 든 것일 뿐. 3개의 문 중에서 하나라면 33프로를 선택하는 것이 잘못된 선택이라고 생각하지 않는다. 물론 나는 답을 모르기 때문에 더 확률이 높은 것을 선택하는 것이 이성적으로 보면 훨씬 더 맞는 선택이다. 하지만 선택을 바꾸는 것이 꼭 당첨이라는 보장도 없는 것이다. 그래서 나는 이성적이기만 하기보다는 감성적으로 내 선택을 유지하는 것도 괜찮을 거라고 생각한다. 반복하지만 어차피 선택을 바꾸는게 당첨이라는 보장도 없거니와 이런 불확실한 확률 게임을 하는 것 자체가 인간의 감성적이고 무모한 면을 보여주는 것 아닌가? 그렇다면 100프로 확정되지 않는 상황에서 꼭 더 높은 확률을 고르는 것만이 이성적인 판단이라고 할 수 있을까? (아직 생각이 다 정리된 건 아니지만, 나는 선택을 바꾸지 않는 것도 어떤 타당한 이유와 설득력있는 근거가 있을 것만 같다. 선택을 바꾸는 것이 확률상 이익이라는 것을 부정하는 건 아니다. 하지만 어차피 운인데 그것을 더 확률이 높다고 남에게 선택을 맡기는 느낌이 들어서 거부감이 들었던 걸까? 그런 내용은 위에도 많이 했는데… 그에 대한 해답도 이미 위에 많다. 음…))

추가 잡담

1) 로또에 당첨될 확률이 높아지는 방법을 아는가? 같은 숫자 조합을 일주일마다 계속 꾸준히 하는 것이다. 그것이 매번 바꾸는 것보다는 숫자의 조합이 고정되니 확률이 높아진다. (확률상 더 안정적이 된다랄까?) 또한 로또의 장수를 늘리면 확률은 더 높아진다. 10장을 사면 10배가 되고 100장을 사면 100배가 된다. 100장의 같은 조합의 숫자들을 매주 사는 것이다.(설명이 조금 이상했는데 물론 100장의 숫자의 조합들은 각기 다 다르다. 그 조합들을 똑같이 다음주에도 계속 사는 것이다.) 그러면 확률적으로는 계속 유동적으로 변하는 로또 당첨 번호에서 나는 같은 숫자 조합을 계속 구매하기 때문에 시간이 지날수록 더욱 힘을 발휘하게 되는 것이다.

결론은 이것은 아주 그럴듯한 개소리다. 확률은 더 높더라도 결국 로또 당첨번호가 어떤 숫자의 조합으로 나올지는 아무도 모른다.
이런식으로 해도 평생 당첨이 안 될수도 있는 것이고 막 매번 새로 찍고 기계한테 맡겨도 당첨될 수도 있는 것이다. 또는 몇십년동안 해도 5등도 한 번 못 해볼 수도 있고 한 번 그냥 해봤는데 1등이 당첨될 수도 있는 것이다. 그러니까 확률을 더 높여간다고 해서 꼭 당첨된다는 보장은 없다는 것이다. 확률은 확률일 뿐이다.

2) 로또 당첨 사이트들은 아마 이런 방식을 취하지 않을까?
사이트에서는 회원들에게 각자 다른 번호 조합을 추천해줄 것이다.
그러면 결국 겹치지 않는 다양한 숫자 조합의 로또를 수천장, 수만장 사는 것과 같은 효과를 보게 된다. 그것은 당연히 당첨 확률을 그만큼 올려준다.
결국 해당 사이트를 이용하는 사람이 많아질수록 그 사이트의 로또 당첨 확률은 높아지게 된다.

그런데 그 사이트에 가입한 사람이 많아져서 회원들의 당첨확률이 높아지고 당첨자가 많아진다는 것은 누구에게 이득일까?

해당 사이트는 분명히 이득을 본다.
회원이 많아져서 회원비를 많이 받든, 당첨 회원에게 당첨금의 일부를 받든 말이다. (내가 그런 사이트에 가입해보지 않아서 어떤 수익구조를 가지고 있는지는 모른다. 그냥 추측해보는 것일 뿐이다.)

하지만 회원에게는 과연 이득일까?
난 결코 이득이 아니라고 본다. 여러 사람이 머리를 모아서 서로 중복되지 않는 번호로 로또를 사는 것은 당첨 확률을 높여주지만 그건 해당 사이트의 관점이다. 결국 나는 그 수많은 회원 중에 단 한 명일 뿐이고, 사이트 내에서 당첨자가 나온다고 해도, 그 당첨자가 나일 확률은 희박하고, 그것은 내가 사이트 회원이 아닐때와 마찬가지이기 때문이다. (만약 당첨자가 회원들에게 수익금을 분배하는 방식이라면 또 모르겠지만···. 그래도 이익보기는 힘들 것이다. 여러모로···.)

3) 당첨 확률이 50%이고 당첨이면 건 돈이 두배가 되어 돌아오고 꽝이면 건 돈을 모두 날리는 도박이 있다고 치자.
나는 그걸로 매일 10만원을 벌기로 마음먹었다. (참고로 내가 가진 전재산은 1000만원이다.)

방법은 이렇다.
처음에 10만원을 건다. 그래서 당첨되면 10만원을 벌었으니 그날은 그만한다.
만약 꽝이라면 10만원을 날렸으니 20만원을 건다. 그래서 당첨되면 10만원을 벌었으니 그날은 그만한다.
만약 두 번 연속 꽝이 나온다면 40만원을 건다···.
이런식으로 매일 반복하며 10만원만 벌고 그만하면 안정적인 수익을 얻을 수 있지 않을까? 라는 생각을 한적이 있다.
정말 좋은 생각 아닌가? 반반의 확률인데 계속 꽝이 수십번 연속으로 나올리도 없고 말이다.

하지만 여기엔 아주 큰 함정이 숨어있다.
연속으로 꽝이 나올 수도 있다는 것이다.
그것도 6번만 연속으로 꽝이 나오면 나는 망하게 된다.
6번 연속 꽝이 나올 확률은 높지 않지만, 일어나지 않으리란 법도 결코 없지 않은가? (확률에 대해 계산은 할 줄 모르지만, 결코 일어나기 어려운 확률도 아닌 것 같다.)
6번 연속 꽝이 나오면 나는 640만원을 날리는 것이다. 매일 10만원씩 벌다가 어느날 640만원을 날리고 잠이 올 것 같은가? 본전 생각이 안 날 것 같은가?
본전을 찾기 위해 다시 돈을 열심히 모아서 1,280만원을 걸었다가 또 꽝이 나온다면? (상상만 해도 끔찍하다.)

50%의 높은 확률 게임이면서, 하루에 10만원만 벌자는 소박한(?) 계획임에도 불구하고 이런식으로 패가망신하게 되는데, 그보다 더 희박한 확률의 도박에 손을 대는 것이 얼마나 무모한 짓인지 알겠는가?
그러니까 결론은 그냥 일해서 돈 버는게 가장 실패확률이 적다.

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