소수의 패턴? 소수에 대해 연구해봤다.

난 일단 그런 생각이 든다.
사실 소수는 뻔한 규칙이 있다.
처음 2는 소수이고 2의 배수는 모두 소수가 아니게 된다.
그 다음 3, 5, 7 등등의 배수도 합성수로써 기하급수적으로, 규칙적으로 증식한다.
결국 그 합성수에서 제외되는 합성수의 반대에 위치하는, 합성수의 시초가 소수인 것이다.
그러니까 합성수는 간단한 패턴이 있고 그 반대편이 있는게 소수다.
합성수가 흑이라면 소수는 나머지 백이 된다.
그러니까 소수에는 규칙성이 있을 수밖에 없다고 할수도 있는 것이다.
그런데 굳이 소수 자체의 고유한 규칙을 찾으려고 하는 것은 쉬운 길을 놔두고 굳이 어려운 길을 찾아내려고 하는 변태같다는 생각이 든다. (그래서 내스타일이야)

사람들이 궁금해하는 것은 이런게 아닐까?
소수를 마음대로 만들어낼 수 있는 방법, 또는 이 수가 소수인지 아닌지 확인할 수 있는 공식.
그런데 사실 소수의 규칙은 1 이외에 어떤 숫자로도 나뉘지 않는 수잖아.
소수인지 확인할 수 있는 규칙이 언젠가는 밝혀질 날이 오긴 할까?


위는 10진법에서 소수를 보여주는 이미지이다.
첫줄을 제외하면 1, 3, 7, 9의 네줄에서 소수가 나오는 것을 볼 수 있다.

그런데 이건 약간 10진법의 함정 같은 느낌이 있다.
간단하게 생각하면 짝수는 모두 제외되고 5는 중간에 있는 숫자니까 소수에서 제외된다.
나머지 홀수에서 소수가 나온다고 생각할 수 있다.
그런데 아래의 내용을 보면 생각이 조금 달라질지도 모른다.


2진수와 6진수로 표시한 모습이다.
10진수에서는 4줄의 소수 세로줄이 있었다면
2진수에서는 1줄 6진수에서는 2줄이 있다.

여기서 신기한 점이 있다.
10진수에서는 소수의 세로줄이 4줄(40%)인데
6진수에서는 2줄(33%)이다.


30진수를 보면 소수의 세로줄이 8줄(26%)이다.
소수의 세로줄의 비율이 더 줄어들었다. (더 최적화 되었다?)

신기하지 않은가?
2진수, 6진수, 30진수가 아니면 그렇게 소수의 비율이 더 줄어드는 경우는 없다.
진수의 증가에 어떤 규칙이 있는지 파악했는가?
2가 소수이고 다음 소수인 3을 곱한게 6이고 다음 소수인 5를 곱한게 30이다.

만약 우리가 10진수를 사용하지 않고 6진수나 30진수를 썼다면 훨씬 소수를 파악하기가 효율적이었을 수 있다는 것이다.


그 다음은 7을 곱한 210진수이다. (소수의 세로줄은 48줄(22%))

그러니까 6진수에서 30진수가 되면서 소수의 세로줄의 비율이 줄어든다.
하지만 12진수(4줄(33%))나 18진수(6줄(33%))는 비율이 줄어들지 않는다. (플리히타의 소수원, 또는 소수 십자가는 그저 24진수에 불과하다고 생각한다.)

난 이게 신기했다.
하지만 생각해보면 별것 아니다.
에라토스테네스의 체와 별로 다를게 없다.
소수의 배수를 순차적으로 없애나가는 것이니 말이다. (좀 더 파악하기 쉽게 이미지로 표현했을 뿐이다.)

부가적 설명을 하자면
소수의 세로줄에 포함되지 않으면 100% 합성수이고
세로줄에 포함되면서 소수가 아닌 것은 해당 진수에서 가장 최근에 곱한 소수(30진수면 5)보다 큰 소수들의 곱한 값이다. (49 (7*7))

또한 앞부분을 보면 6진수에서는 2와 3의 밑에는 세로줄이 없고 그 다음 소수인 5에 소수의 세로줄이 있고
30진수에서는 다음 소수인 7에 소수의 세로줄이 있고
210진수에서는 11에 소수의 세로줄이 있다.
또한 해당 진법에 +1이나 -1을 한 수는 무조건 소수의 세로줄인 것을 알 수 있다.
이런 것으로 소수의 사막지역 분포나 한 수 걸러서 소수가 나오는 쌍둥이 소수의 느낌적인 느낌?을 유추하고 이해할 수 있을 것 같다.

그러니까 수가 그냥 하나씩 커지고 거기서 소수의 패턴이 딱히 없을 것 같지만
소수를 순서대로 곱해서 만든 진법을 틀로 보면 소수에도 특정한 규칙성이 보인다고 할까?

primenumber.html
위의 링크는 지금까지 보여줬던 이미지처럼 소수를 검은색으로 표시한 화면이다.
웹브라우저의 확대 축소 기능을 이용하거나 창의 가로 넓이를 조정하면서 진수가 변하면서 생기는 소수 패턴의 변화를 볼 수 있다. (이렇게 저렇게 조절해보면서 가지고 놀면 재미있다. 나만 그런가?)

그리고 추가로 무조건 세로줄의 모양이 좌우 대칭이라는 점을 이용해서 이런식으로도 표현해봤다.

15진수라고 해야 할까? 그런데 그냥 글자를 읽듯이 배열한게 아니고 지렁이가 기어가듯이? 지그재그로 이어지는 모양이다.


이건 105진수 지그재그 버전이다.

그리고 골드바흐의 추측에 대한 내 생각은 어떤 짝수든 소수와 소수의 합으로 구현 가능하다는 것은 결국 소수를 완벽하게 파악해야만 증명할 수 있으므로 소수를 완벽하게 파악하지 못하는 이상 증명할 수 없을 것 같다.

20190615 추가/


소수로 진수를 만들어보면 (29진수)
세로줄로는 전혀 일치하거나 규칙이 없어보이지만
보면 알겠지만 사선으로 어떤 규칙이 보인다.
사선으로 없는 줄은 끝까지 소수가 없을 것 같다.

우리는 10진수를 쓰기 때문에 뒷자리가 짝수이거나 5이거나 0이면 소수가 아니라는 것을 안다.
그래서 우리가 만약 6진수, 30진수, 210진수를 사용했다면 훨씬 더 많은 뒷자리만 보고도 소수가 아니라는 것을 파악할 수 있었을 것이다.
(다시 말해서 합성수끼리 틀을 잡아서 소수끼리 보는 거다)

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